Question

已知．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；　　　　　　
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的单调区间．（不必证明）

Answer 1

解：（Ⅰ）由对数函数的定义知
解得-1＜x＜1
故f （x）的定义域为（-1，1）…
（Ⅱ）∵
∴，
∴f （x）为奇函数…
（Ⅲ）故当a＞1时，f（x）在区间（-1，1）单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在区间（-1，1）单调递减．…
分析：（I）根据对数函数的真数部分必为正，构造不等式，可求出函数的定义域；
（II）由已知中函数解析式，求出f（-x）的解析式，并根据对数的运算性质，判断出f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，判断出函数为奇函数；
（III）根据对数函数单调性与底数的关系及复合函数同增异减的原则，可得到函数的单调区间．
点评：本题考查的知识点是函数的定义域，函数的奇偶性，函数的单调性，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答本题的关键．