Question

一条长为2cm的线段AB夹在互相垂直的两个平面α、β之间，AB与α所成角为45°，与β所成角为30°，且α∩β=l，AC⊥l，BD⊥l，C、D是垂足．
求（1）CD的长；
（2）AB与CD所成的角．

Answer 1

分析：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，在Rt△BCD中，可求出CD；
（2）作BE∥l，根据异面直线所成角的定义可证∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，Rt△ABE中求得∠ABE．

解答：解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，
∴ABC=30°，
∠BAD=45°，Rt△ACB中，BC=AB•cos30°=

3

，
在Rt△ADB中，BD=AB•sin45°=

2

在Rt△BCD中，可求出CD=1cm；
（2）作BE∥l，CE∥BD，BE∩CE=E，
则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，
先求出AE=

3

，再在Rt△ABE中，
求得∠ABE=60°．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及异面直线所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．