Question

函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有f(m)f(n)=mf(

n

2

)+nf(

m

2

)成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；
（3）求所有满足条件的函数f（x）．

Answer 1

分析：（1）由已知中任意的实数m，n，总有f(m)f(n)=mf(

n

2

)+nf(

m

2

)成立，令m=n=0，易得f（0）的值；
（2）由已知中任意的实数m，n，总有f(m)f(n)=mf(

n

2

)+nf(

m

2

)成立，令m=n，即可得到结论；
（3）由已知中任意的实数m，n，总有f(m)f(n)=mf(

n

2

)+nf(

m

2

)成立，令m=2n=2x，即可得到结论．

解答：解：（1）令m=n=0
∴f²（0）=0∴f（0）=0
（2）令m=n
∴

f

2

(m)=2mf(

m

2

)=4•

m

2

•f(

m

2

)＞0
∴对于任意的tt•f(t)=

1

4

f

2

(2t)≥0
∴即证
（3）令m=2n=2x
∴f(2x)•f(x)=2xf(

x

2

)+x•f(x)=f²（x）+xf（x）
当f（x）=0时恒成立，
当f（x）≠0时有，
∴f²（2x）=[f（x）+x]²=4xf（x）
∴f（x）=x．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数恒成立问题，其中在解答抽象函数的关键是“凑”，如（1）中令m=n=0，（2）中令m=n，（3）中令m=2n=2x．