Question

已知数列

2

1×3

，

2

3×5

，

2

5×7

，…，

2

(2n-1)(2n+1)

，…的前n项和为S_n．
（Ⅰ）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所得到的计算结果，猜想S_n的表达式，不必证明．

Answer 1

分析：（I）由已知中数列通项公式为a_n=

2

(2n-1)(2n+1)

，依次代入可求出S₁，S₂，S₃，S₄；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所得到的计算结果，分析结果中分子和分母的变化规律，可得S_n的表达式

解答：解：（I）∵数列

2

1×3

，

2

3×5

，

2

5×7

，…，

2

(2n-1)(2n+1)

，…的前n项和为S_n．
∴S₁=

2

1×3

=

2

3

，
S₂=

2

1×3

+

2

3×5

=

4

5

，
S₃=

2

1×3

+

2

3×5

+

2

5×7

=

6

7

，
S₄=

2

1×3

+

2

3×5

+

2

5×7

+

2

7×9

=

8

9

，
（II）由（I）中
S₁=

2

3

=

2×1

2×1+1

，
S₂=

4

5

=

2×2

2×2+1

，
S₃=

6

7

=

2×3

2×3+1

，
S₄=

8

9

=

2×4

2×4+1

，
…
由此猜想S_n=

2n

2n+1

点评：本题考查的知识点是数列求和，归纳推理，难度不大，其中（II）中要注意分析（I）中结论分子和分母的变化规律