Question

在边长为1的正三角形ABC中，设

BC

=

a

，

AB

=

c

，

AC

=

b

，则

a

•

b

+

b

•

c

+

c

•

a

的值是

 

Answer 1

分析：由于三角形ABC为边长为1的正三角形，所以已知向量的模全为1，计算时要注意分清向量的夹角是

π

3

还是

2π

3

，由向量的数量积公式计算可得答案．

解答：解：∵

BC

=

a

，

AB

=

c

，

AC

=

b

∴|

a

|=|

b

|=|

c

|=1
且＜

a

，

b

＞=

π

3

，＜

b

，

c

π ＞=

π

3

，＜

a

，

c

＞=

2π

3

∴

a

•

b

=

1

2

，

b

•

c

=

1

2

，

c

•

a

=-

1

2

∴

a

•

b

+

b

•

c

+

c

•

a

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查的平面向量的数量积运算，由于已知的三个向量对应的有向线段是正三角形的三边，故三个向量的模均为1，当表示两个向量的有向线段同起点（或同终点）时，两个向量的夹角等于三角形的内角，当两个向量首尾相接时，两个向量的夹角等于三角形的外角．