Question

已知直线x+2y+m=0(m∈R)与抛物线C:y²=x相交于不同的两点A,B.

(1)求实数m的取值范围.

(2)在抛物线C上是否存在一个定点P,对(1)中任意的m的值,都有直线PA与PB的斜率互为相反数?若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.

Answer 1

解:(1)因为抛物线与直线有两个不同的交点,

所以方程组有两个不同的解,即方程y²+2y+m=0有两个不同的解.

所以Δ=4-4m＞0,即m＜1.                                           

(2)方法一:设A(y₁²,y₁),B(y₂²,y₂),P(y₀²,y₀).                             

    由k_AB===-,得y₁+y₂=-2.                     

k_PA==,k_PB==.                    

假设在抛物线上存在定点P使得直线PA与PB的斜率互为相反数,即k_PA=-k_PB,

即=-,即2y₀=-(y₁+y₂)=2,得y₀=1,                     

即存在定点P(1,1)使得直线PA与PB的斜率互为相反数.              

方法二:若存在定点P(y₀²,y₀).设A(y₁²,y₁),B(y₂²,y₂),PA的斜率为k(k≠0).    

直线PA的方程为y-y₀=k(x-y₀²),由得ky²-y+y₀-ky₀²=0.

所以y₀+y₁=,即y₁=-y₀.

同理,y₂=--y₀.                                                  

因为A,B两点在直线x+2y+m=0上,

所以k_AB====-=-,即y₀=1,     

即存在定点P(1,1)使得直线PA与PB的斜率互为相反数.