Question

如图，在圆锥PO中，已知PO=

2

，⊙O的直径AB=2，C是

AB

的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）过O分别作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再连接GH，根据三垂线定理证明∠OGH为二面角B-PA-C的平面角，最后分别在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中计算出OH、OG和sin∠OGH，最后求出所求二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）连接OC，
∵OA=OC，D是AC的中点
∴AC⊥OD
又∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O
∴AC⊥PO
∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线
∴AC⊥平面POD，
而AC?平面PAC
∴平面POD⊥平面PAC
（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC
所以OH⊥平面PAC，
又∵PA?平面PAC
∴PA⊥HO
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B-PA-C的平面角
在Rt△ODA中，OD=OA•sin45°=

2

2

在Rt△ODP中，OH=

PO•OD

PO2+OD2

=

2 • 2 2

2+ 1 2

=

10

5

在Rt△OPA中，OG=

PO•OA

PO2+OA2

=

2 ×1

2+1

=

6

3

在Rt△OGH中，sin∠OGH=

OH

OG

=

10 5

6 3

=

15

5

所以cos∠OGH=

1-sin2∠OGH

=

1- 15 25

=

10

5

故二面角B-PA-C的余弦值为

10

5

点评：直线与平面垂直是证明空间垂直的关键，立体几何常常利用三垂线定理作辅助线，来求与二面角的平面角有关的问题．