Question

已知函数(>0)，过点P(1，0)作曲线的两条切线PM、PN，为M、N．

(1)当t=2时，求函数的单调递增区间；

(2)设|MN|=g(t)，求函数g(t)的表达式；

(3)在(2)的条件下，若对任意正整数，在区间[2，+]内总存在+1个实数、、…、、，使得不等式g()+g()+…+g()<g()成立，求的最大值．

Answer 1

解：(1)当t=2时，，

解得>或<一．

则函数的单调递增区间为(一∞，一)，(，+∞)．

(2)设M、N两点的横坐标分别为₁、₂，

∵，

∴切线PM的方程为，

又∵切线PM过点P(1，0)，

∴有0一()=() (1－)．

即    ①

同理，由切线PN也过点P(1，0)，得

    ②

由①②可得₁、₂是方程=0的两个根，

∴    (*)

   |MN|=

=

=

把(*)式代入，得|MN|=，

因此，函数g(*)的表达式为g(t)= (t>0)．

(3)易知g(t)在区间[2，+]上为增函数，

∴g(2)≤g()(=1，2，…，m+1)，

则m?g(2)≤g(₁)+g(₂)+…+g(_m)，

∵g(₁)+g(₂)+…+g(_m)≤g(_m+1)对一切正整数成立．

    ∴不等式m?g(2)≤g(+)对一切的正整数恒成立．

    ∴．

即m<对一切正整数，恒成立．

∵+64≥16．

    ∴

    >．

M<．

由于m为正整数，∴m≤6．

又m=6时，存在₁=₂=…=_m=2，_m十1=16，

对所有的满足条件．因此，m的最大值为6．