Question

如图1,在边长为3的等边三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC边上的点,且满足AE=FC=CP=1,将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置,如图2,使平面A₁EF⊥平面FEBP,连接A₁B,A₁P,

(1)求证:A₁E⊥PF.

(2)若Q为A₁B中点,求证:PQ∥平面A₁EF.

Answer 1

【证明】(1)在△AEF中,因为AE=1,AF=2,∠A=60°,

由余弦定理得EF==,

所以AE²+EF²=AF²=4,所以EF⊥AE.

所以在题干图2中有A₁E⊥EF.

因为平面A₁EF⊥平面FEBP,平面A₁EF∩平面FEBP=EF,A₁E⊂平面A₁EF,

所以A₁E⊥平面FEBP.所以A₁E⊥PF.

(2)在题干图1△ABC中,因为==,设BE的中点为H,连接PH,QH,

所以PF∥BE,且PF=EH,所以四边形PFEH为平行四边形,所以PH∥EF,

PH⊄平面A₁EF,EF⊂平面A₁EF,所以PH∥平面A₁EF,

又QH∥A₁E,QH⊄平面A₁EF,A₁E⊂平面A₁EF,所以QH∥平面A₁EF.

QH∩PH=H,所以平面A₁EF∥平面QHP,

PQ⊂平面QHP,所以PQ∥平面A₁EF.