【题目】已知函数,
.
(1)求函数的单调区间与极值.
(2)当时,是否存在
,使得
成立?若存在,求实数
的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).
【解析】
(1)求出函数的定义域,接着求导,对参数
分类讨论。
(2)假设存在,使得
成立,则对
,满足
,将问题转化为求
与
。
解:(1),
当时,
恒成立,即函数
的单调增区间为
,无单调减区间,所以不存在极值.
当时,令
,得
,当
时,
,当
时,
,
故函数的单调增区间为
,单调减区间为
,此时函数
在
处取得极大值,极大值为
综上,当时,函数
的单调增区间为
,无单调减区间,不存在极值.当
时,函数
的单调增区间为
,单调减区间为
,极大值为
,无极小值
(2)当时,假设存在
,使得
成立,则对
,满足
由可得,
.
令,则
,所以
在
上单调递增,所以
,所以
,所以
在
上单调递增,
所以
由(1)可知,①当时,即
时,函数
在
上单调递减,所以
的最小值是
.
②当,即
时,函数
在
上单调递增,
所以的最小值是
.
③当时,即
时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.又
,所以当
时,
在
上的最小值是
.当
时,
在
上的最小值是
所以当时,
在
上的最小值是
,故
,
解得,所以
.
当时,函数
在
上的最小值是
,故
,
解得,所以
.故实数
的取值范围是
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【题目】西北某省会城市计划新修一座城市运动公园,设计平面如图所示:其为五边形,其中三角形区域
为球类活动场所;四边形
为文艺活动场所,
,为运动小道(不考虑宽度)
,
,
千米.
(1)求小道的长度;
(2)求球类活动场所的面积最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为
,圆柱表面上的点
在左视图上的对应点为
,则在此圆柱侧面上,从
到
的路径中,最短路径的长度为( )
A. B.
C.
D. 2
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2018年是中国改革开放的第40周年,为了充分认识新形势下改革开放的时代性,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机抽取3人进行座谈,用
表示年龄在
内的人数,求
的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在
的概率为
.当
最大时,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】用一张长为12,宽为8的铁皮围成圆柱形的侧面,则这个圆柱的体积为_____;半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是_____.
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【题目】回答下列两个问题, 并给出例子或证明.
(1)对任意正整数, 在平面上是否都存在
个不在同一条直线上的点, 使得任意两点间的距离都为正整数?
(2)在平面上是否存在两两不同的无限点列组成的点集, 使得
内所有点不在同一条直线上, 且
内任意两点间的距离为正整数?
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