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    如图，有三个生活小区（均可看成点）分别位于A、B、C三点处，AB=AC，A到线段BC的距离AO=40，∠ABO=
    2π
    7
    （参考数据：tan
    2π
    7
    ≈
    2
    		3
    3
    ）．今计划建一个生活垃圾中转站P，为方便运输，P准备建在线段AO（不含端点）上．
    （I）设PO=x（0＜x＜40），试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数，并求S的最小值；
    （II）设∠PBO=a（0＜α＜
    2π
    7
    ），试将P到三个小区的距离之和y表示为a的函数，并确定当a取何值时，可使y最小？
    分析：（1）利用直角三角形的边角关系及其勾股定理、函数的单调性即可得出；
    （2）根据条件列出其表达式，利用导数得出其单调性，进而即可得出最小值．
    解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵AO=40，∠ABO=
    2π
    7
    ，∴BO=
    AO
    tan
    2π
    7
    =
    40
    2
    		3
    3
    =20
    		3
    ，
    ∴PA=40-x，PB=PC=
    		1200+x2
    ，
    ①若PA≥PB，即40-x≥
    		1200+x2
    ，即0＜x≤5时，S=40-x；
    ②若PA＜PB，即40-x＜
    		1200+x2
    ，即5＜x＜40时，S=
    		1200+x2
    ．
    从而S=
    40-x，当0＜x≤5时
    		1200+x2
    ，当5＜x＜40时
    ．
    当0＜x≤5时，S=40-x单调递减，∴Smin=35；
    当5＜x＜40时，S=
    		1200+x2
    ，是增函数，∴S＞S（5）=35．
    综上可知：当x=5时，S取得最小值为35．
    （2）在Rt△BOP中，BP=
    BO
    cosα
    =
    20
    		3
    cosα
    ，PO=BOtanα=20
    		3
    tanα    ，
    ∴y=2BP+（AO-PO）=40+2BP-PO=
    40
    		3
    cosα
    +40-20
    		3
    tanα    =40+20
    		3
    ×
    2-sinα
    cosα

    ∵y′=20
    		3
    ×
    2sinα-1
    cos2α
    ，令y′=0，即sinα=
    1
    2
    ，从而α=
    π
    6
    ，
    当0＜a＜
    π
    6
    时，y′＜0；当
    π
    6
    ＜a＜
    2π
    7
    时，y′＞0．
    当α=
    π
    6
    时，可使y最小．
    点评：数列掌握勾股定理、利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网有三个生活小区，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=20
    		7
    ，BC=40
    		3
    ．今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图，且∠ABO≈
    2
    7
    π    ．
    （Ⅰ）若希望变电站P到三个小区的距离和最小，点P应位于何处？
    （Ⅱ）若希望点P到三个小区的最远距离为最小，点P应位于何处？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本题满分14分）

    有三个生活小区,分别位于三点处，且，. 今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在的垂直平分线

    上的点处，建立坐标系如图，且.

    (Ⅰ)  若希望变电站到三个小区的距离和最小，

    点应位于何处？

    (Ⅱ)  若希望点到三个小区的最远距离为最小，

    点应位于何处？

                                          

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    科目：高中数学 来源：2013届江苏盐城明达中学高三上学期学情调研考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    (本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上.

    （1）设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；

    （2）设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省南通市通州区高三（下）2月寒假调研数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，有三个生活小区（均可看成点）分别位于A、B、C三点处，AB=AC，A到线段BC的距离AO=40，∠ABO=（参考数据：tan）．今计划建一个生活垃圾中转站P，为方便运输，P准备建在线段AO（不含端点）上．
    （I）设PO=x（0＜x＜40），试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数，并求S的最小值；
    （II）设∠PBO=a（0），试将P到三个小区的距离之和y表示为a的函数，并确定当a取何值时，可使y最小？

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