Question

给出下列命题：
①若椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|＞6，则动点P不一定在该椭圆外部；
②以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以为半径的圆与该抛物线必有3个不同的公共点；
③双曲线与椭圆有相同的焦点；
④抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1．
其中真命题的序号为    ．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】分析：①利用椭圆的定义，可得椭圆上的点P′满足|P′F₁|+|P′F₂|=10，故可判断；
②以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以为半径的圆的方程为，与抛物线y²=2px联立，即可求得交点的个数；
③分别求出双曲线、椭圆的焦点坐标，即可判断；
④求出抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值，即可得结论．
解答：解：①椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，∴椭圆上的点P′满足|P′F₁|+|P′F₂|=10，∴动点P满足|PF₁|+|PF₂|＞6，则动点P不一定在该椭圆外部，故①为真命题；
②以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以为半径的圆的方程为，将抛物线y²=2px代入，并化简可得：x²+px=0，∵x≥0，p＞0，∴x=0，∴以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以为半径的圆与该抛物线有1个公共点，故②为假命题；
③双曲线的焦点为（，0），椭圆的焦点为（，0），因此双曲线与椭圆有相同的焦点，故③为真命题；
④设抛物线y²=4x上动点P（x，y），则P到其焦点的距离为=
∵x≥0，∴P到其焦点的距离为x+1，∴x+1≥1，∴抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1，故④为真命题
故真命题为①③④
故答案为：①③④
点评：本题重点考查圆锥曲线的性质，考查圆锥曲线的综合，解题时，需要利用性质一一进行判断．