Question

如图1所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为θ的扇形，A是扇形弧PQ上的动点，AB∥OQ，OP与AB交于点B，AC∥OP，OQ与AC交于点C．记∠AOP=α．
（1）若，如图1，当角α取何值时，能使矩形ABOC的面积最大；
（2）若，如图2，当角α取何值时，能使平行四边形ABOC的面积最大．并求出最大面积．

Answer 1

解：（1）若，由题意可得 AB=sinα，BO=cosα，故矩形ABOC的面积S=AB•BO=sin2α，
故当α=时，能使矩形ABOC的面积最大．
（2）若，由题意可得0＜α＜，作AH⊥OP，H为垂足，则AH=sinα，OH=cosα，tan∠ABH==tan=，
故BH=sinα，∴OB=cosα-sinα．
故平行四边形ABOC的面积S′=OB•AH=（cosα-sinα ）sinα=sinαcosα-sin²α
=sin2α-×=sin2α-cos2α-=sin（2α+）-．
由于0＜α＜，故＜2α+＜，故当 2α+=时，S′取得最大值为 ．
分析：（1）若，由题意可得 AB=sinα，BO=cosα，求得矩形ABOC的面积S=AB•BO=sin2α，由此求得角α取何值时，能使矩形ABOC的面积最大．
（2）若，作AH⊥OP，H为垂足，则AH=sinα，OH=cosα，BH=sinα，可得OB=cosα-sinα．化简平行四边形ABOC的面积S′=OB•AH，等于 sin（2α+）-．由0＜α＜，可得当 2α+=时，S′取得最大值为 ．
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．