Question

已知函数，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）当n≥2，且n∈N^*时，试比较a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}与2ⁿ-2的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，解得x＜-1或x＞1，∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，
∴在定义域上是奇函数．
（Ⅱ）由x∈[2，4]时，恒成立，
①当a＞1时，∴对x∈[2，4]恒成立，
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
则g（x）=-x³+7x²+x-7，，
∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0，∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15，∴0＜m＜15．
②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，恒成立，
∴对x∈[2，4]恒成立，∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，
g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45．
（Ⅲ）∵=，∴
当n=2时，，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2，
当n=3时，，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2，
当n≥4时，2ⁿ-2，下面证明：当n≥4时，2ⁿ-2．
证明：当n≥4时，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1，
∴当n≥4时，2ⁿ-2．
分析：（Ⅰ） 先求出定义域，利用对数的性质证明f（-x）=-f（x），故函数在定义域内是奇函数．
（Ⅱ） ①当a＞1时，有 对x∈[2，4]恒成立，即0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）
在x∈[2，4]恒成立，利用导数求得（x+1）（x-1）（7-x）的最小值为15，得到 0＜m＜15．
②当0＜a＜1时，m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，利用导数求得 （x+1）（x-1）（7-x） 的最大值
为45，故m＞45．
（Ⅲ） n=2 时，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2． n=3 时，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2．当n≥4时，
a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＜2ⁿ-2． n≥4时，由 2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1 得到证明．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，函数的恒成立问题，用放缩法证明不等式，用放缩法证明不等式是解题的
难点．