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精英家教网一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中,底面如图所示,其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形,∠AEF=90°,AE=a,EF=b,三棱柱的高与正四棱柱的高均为1,则此正四棱柱的体积为
 
分析:令AB=c,由△ABE∽△ECF可得
AB
EC
=
AE
EF
=
a
b
,进而得到BE=c(1-
b
a
),再由勾股定理可得c2=
a4
a2-(a-b)2
,进而代入棱柱体积公式,可得答案.
解答:解:令AB=c
∵∠AEF=90°
∴△ABE∽△ECF
AB
EC
=
AE
EF
=
a
b

∴EC=
bc
a

∴BE=c(1-
b
a

且有AB2+BE2=AE2
即c2+c2(1-
b
a
2=a2
∴c2=
a2
1+(1-
b
a
)2
=
a4
a2-(a-b)2

故正方形ABCD的面积S=
a4
a2-(a-b)2

又∵正四棱柱的高为1,
∴此正四棱柱的体积V=
a4
a2-(a-b)2

故答案为:
a4
a2-(a-b)2
点评:本题考查的知识点是棱柱的体积公式,其中根据三角形相似得到BE=c(1-
b
a
),进而得到c2=
a4
a2-(a-b)2
是解答的关键.
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