Question

已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=

1

a

-

1

x-1

（a＞0）
（1）若f（2t-3）＞f（4-t），求实数t的取值范围；
（2）若f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在定义域[m，n]（m＞1）上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则得到f′（x），即可判断函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，由f（2t-3）＞f（4-t），即可得到2t-3＞4-t＞1，解得即可；
（2）f（x）≤4x，化为

1

a

≤

1

x-1

+4x．f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立?

1

a

≤[

1

x-1

+4x]min，x∈（1，+∞）．令g（x）=4x+

1

x-1

，x∈（1，+∞）．利用基本不等式即可得出最小值，进而得出a的取值范围．
（3）由（1）可知：函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．由于f（x）在定义域[m，n]（m＞1）上的值域是[m，n]（m≠n），可得

f(m)= 1 a - 1 m-1 =m f(n)= 1 a - 1 n-1 =n

，即方程

1

a

=

1

x-1

+x在区间[m，n]（m＞1）上由两解，可得

1

a

=x-1+

1

x-1

+1＞2

(x-1)• 1 x-1

+1，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）∵x＞1，f′(x)=

1

(x-1)2

，∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
又∵f（2t-3）＞f（4-t），
∴2t-3＞4-t＞1，解得

7

3

＜t＜3．
∴实数t的取值范围是(

7

3

，3)．
（2）f（x）≤4x，化为

1

a

≤

1

x-1

+4x．
∴f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立?

1

a

≤[

1

x-1

+4x]min，x∈（1，+∞）．
令g（x）=4x+

1

x-1

，x∈（1，+∞）．则g（x）=4（x-1）+

1

x-1

+4≥2

4(x-1)• 1 x-1

+4=8，当且仅当x=

3

2

时取等号．
∴g（x）_min=8．
∴

1

a

≤8，又a＞0，∴a≥

1

8

．
∴实数a的取值范围是[

1

8

，+∞)；
（3）由（1）可知：函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
∵f（x）在定义域[m，n]（m＞1）上的值域是[m，n]（m≠n），∴

f(m)= 1 a - 1 m-1 =m f(n)= 1 a - 1 n-1 =n

，
∴方程

1

a

=

1

x-1

+x在区间[m，n]（m＞1）上由两解，
∴

1

a

=x-1+

1

x-1

+1＞2

(x-1)• 1 x-1

+1=3，当且仅当x=2时取等号．
∴0＜a＜

1

3

．
∴实数a的取值范围是(0，

1

3

)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、基本不等式的性质、恒成立问题等基础知识与基本方法，把恒成立问题恰当转化是解题的关键，属于难题．