Question

设p为常数，函数f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数．
（1）求p的值；（2）设f(

1

2

)+f(

1

3

)=f(x0)，求x₀的值；
（3）若f（x）＞2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的定义域，根据函数是奇函数，f（x）+f（-x）=0对x∈（-1，1）恒成立，可构造关于p的方程，进而求出p的值；
（2）根据（1）可得函数f（x）的解析式，进而根据关于x₀的方程，解方程可得x₀的值；
（3）根据（1）可得函数f（x）的解析式，构造关于x的不等式，解不等式可得x的取值范围．

解答：解：（1）若函数的解析式有意义

1-x＞0 1+x＞0

，
则函数f（x）的定义域为（-1，1）…（2分）
因为f（x）是奇函数，
所以f（x）+f（-x）=0对x∈（-1，1）恒成立，
log₂（1-x）+plog₂（1+x）+log₂（1+x）+plog₂（1-x）=0对x∈（-1，1）恒成立，
即（p+1）[log₂（1-x）+log₂（1+x）]=0对x∈（-1，1）恒成立，
即（p+1）log₂（1-x²）=0对x∈（-1，1）恒成立，
故p+1=0
所以p=-1．…（6分）
（2）由（1）可得f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x），
则f(

1

2

)+f(

1

3

)=log₂（1-

1

2

）-log₂（1+

1

2

）+log₂（1-

1

3

）-log₂（1+

1

3

）
=log₂（

1

2

）-log₂（

3

2

）+log₂（

2

3

）-log₂（

4

3

）
=log₂（

1

2

÷

3

2

×

2

3

÷

4

3

）=log₂（

1

6

）
f（x₀）=log₂（1-x₀）-log₂（1+x₀）=log₂（

1-x0

1+x0

），
故

1-x0

1+x0

=

1

6

解方程得x0=

5

7

…（10分）
（3）f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x），
则f（x）＞2等价于

1-x

1+x

＞4，
解得：-1＜x＜-

3

5

，
所以x的取值范围是-1＜x＜-

3

5

．…（14分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，函数奇偶性的性质，对数的运算性质，其中根据已知求出函数f（x）的解析式是解答本题的关键．