Question

Rt△ABC所在平面α外有一点P,∠C=90°,PC=24,PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,且PD=PE=,求:

(1)P点到平面α的距离;

(2)PC和平面α所成角的大小.

Answer 1

解:(1)作PO⊥α于O,则PO为P点到平面α的距离,连结OC,∠PCO为PC和平面α所成的角.连结OE、OD.

∵PD=PE,PE⊥BC于E,PD⊥AC于D,

∴PD、PE在平面α内的射影分别为OD、OE,且OE=OD,OE⊥BC,OD⊥AC,

即四边形ODCE中,OE=OD,且∠OEC=∠ODC=∠C=90°.

∴四边形ODCE为正方形,OC=OE.

设OP=ｘ,则

OC²=PC²-OP²=24²-ｘ²,                                               ①

OE²=PE²-OP²=()²-ｘ²,                                      ②

OC=OE,                                                                 ③

解①②③组成的方程组得ｘ=12.

(2)在Rt△POC中,sin∠PCO==,

∴∠PCO=30°.

∴P点到平面α的距离为12,

PC与平面α成的角为30°.

小结:利用图形中的公共量关系构造方程并解方程,是立体几何解决问题的方法之一.