Question

（2012•东城区一模）抛物线y²=x的准线方程为

x=-

1

4

；经过此抛物线的焦点和点M（1，1），且与准线相切的圆共有

2

个．

Answer 1

分析：根据抛物线方程y²=x，不难得到它的焦点坐标和准线方程．根据平面几何性质，满足条件圆的圆心C既在线段FM垂直平分线上，又在抛物线上．由此确定FM垂直平分线与抛物线交点的个数，即得满足条件的圆的个数．

解答：解：∵抛物线方程为y²=x，
∴抛物线开口向右，2p=1，得

p

2

=

1

4

因此，抛物线的准线方程为x=-

1

4

，焦点坐标为F（

1

4

，0）
设过抛物线的焦点F和点M（1，1）的圆的圆心为C
∵CF=CM，∴点C在线段FM垂直平分线上
又∵圆C与与抛物线准线相切
∴点C到准线的距离等于圆的半径CF，结合抛物线的定义，可得点C是抛物线上的点．
由以上的分析可得，点C是抛物线与FM垂直平分线的焦点
∵FM垂直平分线为：y=-

3

4

x+1，与抛物线y²=x有两个不同的交点
∴存在两个不同的C点，使圆C与准线相切，即过F、M两点且与准线相切的圆共有2个
故答案为：2

点评：本题给出经过定点（1，1）和抛物线焦点的圆与抛物线准线相切，求满足条件圆的个数．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质，直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．