Question

10．在空间直角坐标系中，以A（m，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰三角形，其中m∈Z，则m的值为（　　）

• A． -4
• B． 4
• C． -6或4
• D． 6或4

Answer 1

分析 根据△ABC是等腰三角形，得到两条腰的长度相等，根据两点之间的距离公式写出关于m的等式，解方程即可．

解答 解：如果点A（m，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的△ABC是以AB为底边的等腰三角形，
∴|AC|=|BC|，
∴$\sqrt{（{m-2）}^{2}+（1-4）^{2}+（9-3）^{2}}$=$\sqrt{{（10-2）}^{2}+{（-1-4）}^{2}+{（6-3）}^{2}}$，
∴53=（m-2）²，m∈Z，
∴方程无解．
如果点A（m，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的△ABC是以AC为底边的等腰三角形，
∴|AB|=|BC|，
∴$\sqrt{{（m-10）}^{2}+{（1+1）}^{2}+{（9-6）}^{2}}$=$\sqrt{{（10-2）}^{2}+{（-1-4）}^{2}+{（6-3）}^{2}}$，
∴（m-10）²=85．
∵m∈Z，
方程无解．
如果点A（m，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴|AB|=|AC|，
∴$\sqrt{{（m-10）}^{2}+{（1+1）}^{2}+{（9-6）}^{2}}$=$\sqrt{{（m-2）}^{2}+{（1-4）}^{2}+{（9-3）}^{2}}$，
∴（m-10）²=32+（m-2）²．解得m=4．
故选：B．

点评 本题考查空间中两点之间的距离公式，本题是中档题，考查分类讨论思想的应用，这种题目若出现就是一个送分题目，同学们在解题过程中认真做出数字，就不会出错．