Question

已知二次函数为常数）；.若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

   （Ⅰ）求a、b、c的值；

   （Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

   （Ⅲ）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（I）函数f（x）的解析式为 

（Ⅱ）

（Ⅲ）当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．

解析:

（I）由图形  知：，

∴函数f（x）的解析式为…………………………4分

（Ⅱ）由

得

∵0≤t≤2

∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（…………………………6分

由定积分的几何意义知：

………………………………9分

（Ⅲ）令

因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数

的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

当x∈（0，1）时，是增函数；

当x∈（1，3）时，是减函数

当x∈（3，+∞）时，是增函数

当x=1或x=3时，

∴

………………………………12分

又因为当x→0时，

当

所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

即

∴m=7或

∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．