Question

已知边长为4

2

的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面α过PF且与AE平行，则AE与平面α间的距离为

2 3

3

．

Answer 1

分析：先作出平面α过PF且与AE平行，设H为DF的中点，再作AK⊥PH，则AK⊥面PDF，AK就是AE与平面α的距离，利用等面积可求AE与平面α间的距离．

解答：解：由题意，延长BA到D，使AD=EF=0.5AB，则四边形AEFD是平行四边形，
∴AE∥DF，则面PDF为α．
∵AE?α，DF?α，
∴AE∥α，
设H为DF的中点，AD=AF=2

2

，
∴AH⊥DF，
∵PA⊥面ABC，由三垂线逆定理，DF⊥PH，
∴DF⊥面PAH，
∵DF⊆面PDF
∴面PDF⊥面PAH，
作AK⊥PH，则AK⊥面PDF，AK就是AE与平面α的距离．
∵AH=0.5AD=

2

，AD=2，
∴PH=

6

，AK=

AH×AP

PH

=

2 3

3

∴AE与平面α的距离为

2 3

3

故答案为：

2 3

3

点评：本题考查的重点是线面距离，解题的关键是作出满足题意的平面，将线面距离转化为点面距离求解．