Question

【题目】已知F1、F2分别是椭圆C： +y2=1的左、右焦点．
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点， =﹣ ，求点P的坐标；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为椭圆方程为 ，

知a=2，b=1， ，

可得 ， ，

设P（x，y）（x＞0，y＞0），

则 ，

又 ，联立 ，

解得 ，即为

（2）解：显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，

由△=（16k）2﹣4（1+4k2）12＞0，得 ．

， ．

又∠AOB为锐角，即为 ，

即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，

又 ，

可得k2＜4．又 ，即为 ，

解得

【解析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P（x，y）（x＞0，y＞0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即为 ，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．