Question

定义在R上的函数f（x），对任意的x都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+3）≥f（x）+3，且f（1）=2，f（0）=1，则f（2009）=________．

Answer 1

2010
分析：利用两个不等式，得到f（x+12）≥f（x）+12且f（x+12）≤f（x）+12通过两边夹的性质得到得到f（x+12）=f（x）+12，注意等号成立的条件，利用周期性求出值即可．
解答：∵对任意的x都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+3）≥f（x）+3，
∴f（x+12）≤f（x+8）+4≤f（x+4）+8≤f（x）+12
f（x+12）≥f（x+9）+3≥f（x+6）+6≥f（x+3）+9≥f（x）+12
∴f（x+12）=f（x）+12当且仅当f（x+4）≤f（x）+4和f（x+3）≥f（x）+3取等号时取等号
即f（x+4）=f（x）+4
∴f（2009）=f（2005）+4=f（2001）+8=…=f（1）+502×4=2+2008=2010
故答案为：2010
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数求值，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．