Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动。

（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）是否存在点E使得面D₁DE⊥面D₁EC？若存在，请求出此时点E到面ACD₁的距离；若不存在，请说明理由；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为？

Answer 1

解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设AE =x， 则 D（0，0，0），A（1，0，1），D（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0） （1）因为 所以 即D1E⊥A1D。 （2）设平面D1EC的一个法向量为n1=（a，b，c） 则 令b=1，则c=2，a=2-x，n1=（2-x，1，2）， 再设平面D1DE的一个法向量为 则 令n=1，则m=-x，n2=（-x，1，0） 由面D1DE⊥面D1ECn1·n2=（2-x，1，2）·（-x，1，0）=0得x2-2x+1=0 故x=1 故E为AB的中点时，有面D1DE⊥面D1EC 由于此时点E为AB的中点，故E（1，1，0）， 设平面ACD1的一个法向量n3=（x，y，z），则 令x=2，则y=1，z=2，即n3=（2，1，2）， 故点E到面ACD1的距离为。 （3）由上述解答过程可知面D1EC的法向量为n=（2-x，1，2） 由题意， 故（不合题意，舍去） ∴当时，二面角D1-EC-D的大小为。