Question

受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=，，其中t为大于的常数．当x=10万元时y=9.2万元．
（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围；
（2）求出旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

Answer 1

解：（1）由于当x=10万元时y=9.2万元，因此，，解得a=．
从而f（x）=x--ln．…
∵，t为大于的常数，可得6＜x≤．
即投入x的取值范围为（6，]．…
（2）由题意可得f′（x）=--=-，令f′（x）=0，可得 x=1，或 x=50．…
当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，且f（x）在（1，50）上连续，因此f（x）在（1，50]上是增函数；
当x∈（50，+∞））时，f′（x）＜0，且f（x）在（50，+∞）上连续，因此f（x）在（50，+∞）上是减函数．
再由6＜x≤，
①可得当≥50时，则x=50时，函数f（x）取得极大值，即投入50万元改造时旅游取得最大增加值．
②若＜50，则当x=时，函数f（x）取得最大值．即投入万元改造时旅游取得最大增加值．…
分析：（1）由于当x=10万元时，y=9.2万元，求得a=，从而求得f（x）的解析式．根据，t为大于的常数，可得6＜x≤，即为所求投入x的取值范围．
（2）令f′（x）=0，可得 x=1（不在x的范围内，舍去），或 x=50．根据f′（x）的符号可得f（x）在（1，50]上是增函数，在（50，+∞）上是减函数．再由6＜x≤，①可得当≥50时，则x=50时，函数f（x）取得极大值，②若＜50，则当x=时，函数f（x）取得最大值，从而得出结论．
点评：本题主要考查函数的最值的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．