Question

如图，在底面是一直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD与面SBA所成的角.

Answer 1

解析：本题是“无棱”的二面角，利用向量法求二面角大小更显示了向量工具的魅力.抓住AD、AB、AS两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出面SAB、面SCD的法向量，再求其夹角.?

解：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1），得=（，1，0），=（，0，-1），=（1，1，-1）.?

设平面SDC的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁).?

∵n₁⊥面SDC，∴n₁⊥,n₁⊥.?

∴∴

∴

∴n₁=(x₁,-x₁,x₁).?

设平面SAD的法向量为n₂=（x₂,y₂,z₂）,则=（0，0，-1），=（0，1，-1），?

∴

∴

∴z₂=y₂=0.∴n₂=(x₂,0,0).?

∴cos〈n₁,n₂〉=

.?

∵面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角，为θ,?

∴cosθ=|cos〈n₁,n₂〉|=.?

∴θ=arccos.?

故面SCD与面SBA所成的角为arccos.