Question

已知f（x）=|log₂（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）．
（1）比较m+n与0的大小；
（2）比较f（

m+n

m-n

）与f（

m+n

n-m

）的大小．

Answer 1

（1）∵f（m）=f（n），
∴|log₂（m+1）|=|log₂（n+1）|．
∴log₂²（m+1）=log₂²（n+1）．
∴[log₂（m+1）+log₂（n+1）][log₂（m+1）-log₂（n+1）]=0，
log₂（m+1）（n+1）•log₂

m+1

n+1

=0．
∵m＜n，∴

m+1

n+1

≠1．
∴log₂（m+1）（n+1）=0．
∴mn+m+n+1=1．∴mn+m+n=0．
由函数的定义域知 m、n∈（-1，0]或m、n∈[0，+∞）时，
由函数y=f（x）的单调性知x∈（-1，0]时，f（x）为减函数，
x∈[0，+∞）时，f（x）为增函数，f（m）≠f（n）．
∴-1＜m＜0，n＞0．∴m•n＜0．
∴m+n=-mn＞0．

（2）f（

m+n

m-n

）=|log₂

2m

m-n

|=-log₂

2m

m-n

=log₂

m-n

2m

，
f（

m+n

n-m

）=|log₂

2n

n-m

|=log₂

2n

n-m

．

m-n

2m

-

2n

n-m

=

-(m-n)2-4mn

2m(n-m)

=-

(m+n)2

2m(n-m)

＞0．
∴f（

m+n

m-n

）＞f（

m+n

n-m

）．