Question

【题目】已知函数，的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数.

（1）求在上的限制函数的解析式；

（2）证明：如果在区间上恒为正值，则在上是增函数；[注：如果在区间上恒为负值，则在区间上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用]

（3）利用（2）的结论，求函数在上的单调区间.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）由题目给出的条件，构造，根据条件验证可得所求函数；
（2）运用反证法，即可得证；
（3）求得，根据第二问结论由大于0，可得增区间；小于0，可得减区间．

解：（1）任意的，；

由于任意性：；

故构造；

由幂函数性质得在单调递减，

且易得：，满足题意，

故：；

（2）运用反证法，即假设在上不是增函数，
若在上是减函数，可得在区间上恒为负值；
若在上是常数函数，可得在区间上恒为零；

若在上是有增有减，可得在区间上可能为正可能为负；
这与在区间上恒为正值矛盾，故在上是增函数；

（3）任意的，当，

，

构造；

任取，，

，

，

故：，

是数集上的限制函数，

，解得

利用（2）结论，当函数单调递增，

，解得

利用（2）结论，当函数单调递减.