Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数，
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

Answer 1

解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)=60；
当20≤x≤200时，设v(x)=ax+b，
再由已知得，解得，
故函数v(x)的表达式为；
(2)依题意并由(1)可得，
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200；
当20≤x≤200时，，
当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立，
所以，当x=100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值；
综上，当x=100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．