Question

在△ABC中，A=90°，点M为BC边的中点，在AB、AC边上分别取P、Q点，使得∠PMQ=90°．求证：
（1）

CQ

•

BP

=

BM

•(

MQ

-

MP

-

BM

)；
（2）|

BP

|2-|

MP

|2=|

MQ

|2-|

CQ

|2．

Answer 1

分析：（1）根据点M为BC边的中点，∠PMQ=90°，故

CM

=

MB

，

MQ

•

MP

=0则将向量

CQ

与

BP

用

CM

、

MQ

、

BM

、

MP

表示，通过化简整理可证得结论；
（2）欲证|

BP

|2-|

MP

|2=|

MQ

|2-|

CQ

|2，先证|

BP

|2+|

CQ

|2=|

MP

|2+|

MQ

|2，将向量

CQ

与

BP

用

CM

、

MQ

、

BM

、

MP

表示，结合（1）可证得结论．

解答：（本小题满分12分）
证明：（1）∵

CQ

=

CM

+

MQ

，

BP

=

BM

+

MP

，…（1分）
∴

CQ

•

BM

+

CM

•

MP

+

MQ

•

BM

+

MQ

•

MP

．…（3分）
由

MQ

⊥

MP

，得

MQ

•

MP

=0．又

CM

=

MB

，…（4分）
∴

CQ

•

BP

=-

BM

2-

BM

•

MP

+

MQ

•

BM

，
即

CQ

•

BP

=

BM

•(

MQ

-

MP

-

BM

)． …（6分）
（2）∵|

BP

|2+|

CQ

|2=(

BM

+

MP

)²+（

CM

+

MQ

）²
=2（

BM

2+

BM

•

MP

+

CM

•

MQ

）+（

MP

²+

MQ

²）
=2

BM

（

BM

+

MP

-

MQ

）+（

MP

²+

MQ

²），…（8分）
又

CQ

⊥

BP

，
∴

CQ

•

BP

=0．
由（1），知

BM

•(

MQ

-

MP

-

BM

)=

CQ

•

BP

=0． …（10分）
∴|

BP

|2+|

CQ

|2=

MP

²+

MQ

²=|

MP

|2+|

MQ

|2，
即|

BP

|2-|

MP

|2=|

MQ

|2-|

CQ

|2． …（12分）
（注：本题的两小题有多种解法，如建立直角坐标系，用向量的坐标运算求解，等等．请参照本评分标准精神给分）

点评：本题忽悠考查了向量在几何中应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．