Question

（12分）已知函数.

（Ⅰ）若函数的最大值为1，求实数的值； 

（Ⅱ）设，证明：对任意，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）证明略。

【解析】(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.  … 1分

当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；              … … 2分

当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；             … … 3分

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；

x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.                        … 5分

当－1＜a＜0时 有最大值，解得… 6分

(Ⅱ)不妨假设x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.

所以等价于≥4x₁－4x₂,       … … 8分

即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁. 令g(x)=f(x)+4x,则   

+4＝.          … … 10分

于是≤＝≤0.            … … 11分

从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x₁) ≤g(x₂)，

即f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，故对任意x₁,x₂∈(0,+) ，.… 12分