Question

记函数f（x）=ln（1+x），g（x）=x．
（1）若函数F（x）=af（x）+g²（x）在x=1处取得极值，试求a的值；
（2）若函数G（x）=af（x）+g²（x）-b•g（x）有两个极值点x₁，x₂，且x1∈[-

4

5

，-

3

5

]，x2∈[0，1]，试求a的取值范围；
（3）若函数H（x）=

1

f(x)

-

1

g(x)

对任意x₁，x₂∈[1，3]恒有|H（x₁）-H（x₂）|≤a成立，试求a的取值范围．（参考：ln2≈0.7）

Answer 1

分析：（1）先根据F（x）=aln（x+1）+x²，求得F′（x）=

a

1+x

+2x，根据F′（1）=0，可以求出a的值；
（2）通过对G（x）求导，再研究导数的分子对应的二次函数根的分布，在aob坐标系中作出符合题意的不等式组对应的平面区域，通过求界点的方法，可找出a的取值范围；
（3）对H（x）求导，得到一个分式函数，再研究此函数的分子对应的函数，发现此函数的最大值为零，从而得出函数H（x）在区间[0，+∞）上单调递减，再结合题意得a≥|H（x）_max-H（x）_min|，从而得出a的取值范围．

解答：解：（1）由F（x）=aln（x+1）+x²，可得F′（x）=

a

1+x

+2x，根
由题意得F′（1）=0，即

a

2

+2=0，故a=-4；
（2）G（x）=aln（x+1）+x²-bx   （x＞-1），
求得 G′（x）=

2x   2   +(2-b)x+(a-b)

1+x

令分子为h（x）=2x²+（2-b）x+（a-b），由题意得：

h(1)=a-2b+4≥0 h(0)=a-b≤0 h(- 3 5 ) =a- 2b 5 - 12 25 ≤0 h(- 4 5 ) =a- 1 5 b- 8 25 ≥ 0

化简得：

a-2b+4≥0 a-b≤0 25a-10b-12≤0 25a-5b-8≥0

，

由图可得A(

2

5

，

8

5

) ，B(

8

5

，

14

5

)，由此可得a∈[

2

5

，

8

5

]
（3）由H（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

得：H/(x)=

(1+x)ln 2(1+x)-x 2

x 2(1+x) 2ln 2(1+x)

记分子为m（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²，（x＞-1），可得m′（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
根据m′（x）的零点不难得出m（x）在区间（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数，
故m（x）≤m（0）=0，因此可得H′（x）≤0在区间[0，+∞）上恒成立，
所以H（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
故H（x）在[1，3]上单调递减，
再由题意，可知：a≥|H（x）_max-H（x）_min|=|H（1）-H（3）|=

1

2ln2

-

2

3

所以a的取值范围是[

1

2ln2

-

2

3

，+∞)

点评：本题考查了利用导数工具研究函数的单调性与极值，求函数在闭区间上的最值问题，同时考查了含有二次和对数函数的零点的分布问题，综合性较强，属于难题．利用数形结合与分类讨论思想是解决本题的关键．