Question

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{a_n}前2013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列{a_n}前2013项中剩余项的和．

Answer 1

（Ⅰ）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x，得a=2．…（1分）
∴S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=2¹-1=1；…（3分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1…（5分）
经验证可知n=1时，也适合上式，
∴a_n=2^n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a_n}为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2013项也为等比数列，首项a₃=2^3-1=4，公比q=2³，a₂₀₁₃=2²⁰¹²为其第671项…（8分）
∴此数列的和为

4(1-8671)

1-8

=

4(22013-1)

7

…（10分）
又数列{a_n}的前2013项和为S₂₀₁₃=

1×(1-22013)

1-2

=2²⁰¹³-1，…（12分）
∴所求剩余项的和为（2²⁰¹³-1）-

4(22013-1)

7

=

3(22013-1)

7

…（13分）