Question

如果有穷数列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*）满足条件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，（i=1，2，…，n）我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1 和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列{b_n}是项数不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2009项和S₂₀₀₉所有可能为：①2²⁰⁰⁹-1  ②2（2²⁰⁰⁹-1）③3•2^m-1-2^2m-2010-1  ④2^m+1-2^2m-2009-1；其中正确的有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由题意由于新定义了对称数列，且已知数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列bn的前2009项利用等比数列的前n项和定义直接可求①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和，再利用减法得到需要的前2009项的和，即可判断．

解答：解：因为数列b_n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
若数列含偶数项，则数列可设为1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
当m-1≥2008时，S₂₀₀₉=

1×(1-22009)

1-2

=2²⁰⁰⁹-1，所以①正确；
当1004≤m-1＜2008时，S₂₀₀₉=2

1×(1-2m)

1-2

-

1×(1-22m-2009)

1-2

=2^m+1-2^2m-2009-1，所以④正确；
若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
当m-1≥2008时，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
当1004≤m-1＜2008时，所以S₂₀₀₉=2

1×(1-2m-1)

1-2

+2^m-1-

1×(1-22m-1-2009)

1-2

=3•2^m-1-2^2m-2010-1，所以③正确．
故选C

点评：本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用．