Question

设动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为，点M的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程：
（II）过点F作直线l与曲线E交于A，B两点，且．当2≤λ≤3时，求直线l斜率k的取值范围•

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为，建立方程，可得曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l方程为y=kx+1，代入曲线E方程，利用韦达定理及向量知识，可求直线l斜率k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）根据题意，∵动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为，
∴|y-3|=•．
化简，得曲线E的方程为3x²+2y²=6．…（4分）
（Ⅱ）直线l方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（2k²+3）x²+4kx-4=0．…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，①x₁x₂=-．②
∵=λ，∴（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），
由此得x₁=-λx₂．③
由①②③，得+==．…（9分）
因为2≤λ≤3，所以≤-≤，从而≤≤2，
解不等式≤+≤2，得≤k²≤3．
故k的取值范围是[-，-]∪[，]．…（12分）
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．