Question

函数y=5

x-1

+

10-2x

的最大值是

6

3

．

Answer 1

分析：法一：利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
法二：利用向量数量积的性质

a

•

b

≤|

a

| |

b

|．即可得出．

解答：解：法一：由

x-1≥0 10-2x≥0

解得1≤x≤5，∴函数y=5

x-1

+

10-2x

的，定义域为[1，5]．
y′=

5

2 x-1

-

1

10-2x

=

5 10-2x -2 x-1

2 x-1 10-2x

，
令y′=0，解得x=

127

27

．
当x∈[1，

127

27

]时，y′＞0，此时函数单调递增；当x∈[

127

27

，5]时，y′＜0，此时函数单调递减．
因此函数在x=

127

27

时取得最大值，y=5

127 27 -1

+

10-2× 127 27

=6

3

．
法二：令

a

=(5，

2

)，

b

=(

x-1

，

5-x

)，定义域为[1，5]．
∵

a

•

b

≤|

a

| |

b

|．
∴函数y=5

x-1

+

10-2x

=5•

x-1

+

2

•

5-x

≤

52+( 2 )2

•

( x-1 )2+( 5-x )2

=6

3

．
当且仅当

a

与

b

同向共线取等号，此时满足5

5-x

=

2

x-1

，解得x=

127

27

时取等号．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、利用向量数量积的性质求最值等基础知识与基本方法，属于中档题．