Question

在数列{a_n}中，a₁=1，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（Ⅰ）求a₂；
（Ⅱ）求a_n；
（Ⅲ）若b_n=（n+1）²（n∈N），T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n，n∈N，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．令n=1有，S₂-4S₁=0，再根据S₁=a₁，可求出S₂，进而求出
a_2．
  （Ⅱ）由 n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可求出数列{a_n}的递推公式，再利用累乘法，求出数列{a_n}的通项公式．
  先把（Ⅲ）b_n=（n+1）²（n∈N）代入T_n，
   得，T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n=-2²-3²+…+(-1)

n(n+1)

2

（n+1）²，再按n=4k，n=4k-1，n=4k-2，
n=4k-3，分情况求出T_n，此题得解．

解答：解：（Ⅰ）S₁=4，∴a₂=3．
  （Ⅱ）∵nS_n+1=（n+3）S_n…①∴当n≥2时，有（n-1）S_n=（n+2）S_n-1…②
①-②有na_n+1=（n+2）a_n（n≥2），
∴2a3=4a₂，3a₄=5a₃，…（n-1）a_n=（n+1）a_n+1（n≥3）
将以上各式左右两端分别相乘，得（n-1）a_n=

(n+1)!

6

a₂，，∴a_n=

n(n+1)

2

，n≥3，
当n=1，2时也成立，∴a_n=

n(n+1)

2

（n∈N⁺）．
   （Ⅲ）∵b_n=（n+1）²（n∈N），∴T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n=-2²-3²+…+(-1)

n(n+1)

2

（n+1）²，
当n=4k，k∈N⁺时，T_n=-2²-3²+4²+5²+…-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²
∵-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²=32k-4
∴T_n=32（1+2+3+…+k）-4k=（4k）²+12k=n²+3n
当，k∈N⁺时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²=4k-1=n
当，k∈N⁺时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²-（4k）²=4k-1-（4k）²=-n²-3n-3

当n=4k-3，k∈N⁺时，，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²+（4k-1）²=-4k=-n-3
∴T_n=

-n-3             n=4k-3 -n2-3n-3       n=4k-2 n                   n=4k-1 n2+3n           n=4k

点评：本题考查了数列前n项和与通项a_n之间的关系，以及根据递推公式求通项公式，做题时须认真审题，正确解答．