Question

下列说法：
①函数f（x）=lnx+3x-6的零点只有1个且属于区间（1，2）；
②若关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；
③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；
④函数y=sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0，

π

4

]的最小值是1．
正确的有

 

．（请将你认为正确的说法的序号都写上）

Answer 1

分析：根据函数零点判定定理，判断①是否正确；
根据不等式恒成立的条件，判断②是否正确；
利用三角函数线与角的弧度数的大小，判断③是否正确；
用换元法求得三角函数的最小值，来判断④是否正确．

解答：解：对①，f（1）=-3，f（2）=ln2＞0，∵f（-1）×f（2）＜0，且f（x）在（1，2）上是增函数，∴函数在（1，2）内只有一个零点．故①正确；
对②关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立⇒a=0或

a＞0 △＜0

⇒0≤a＜1．故②不正确；
对③根据正弦线|sinx|≤|x|当且仅当x=0取“=”，∴只有一个交点，故③不正确；
对④设t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∴t∈[1，

2

]，y=

t2-1

2

+t=

1

2

（t+1）²-1，∴函数的最小值是1．故④正确．
故答案是①④

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查函数零点存在性定理、三角函数求最值等问题．