Question

设函数f(x)=sinωxcosωx-

3

sin2ωx+a（ω＞0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在区间[-

π

3

， 

5π

6

]上的最小值为

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2ωx+

π

3

）+a-

3

2

，再结合正弦函数最大值的结论，解关于ω的方程，即可得ω的值；
（2）根据题意，得x+

π

3

∈[0，

7π

6

]，再结合正弦函数图象在区间[0，

7π

6

]上的单调性，可得当x=

5π

6

时，f（x）有最小值，由此建立关于a的方程，解之即可得到实数a的值．

解答：解：（1）∵sinωxcosωx=

1

2

sin2ωx，sin²ωx=

1

2

（1-cos2ωx）
∴f（x）=

1

2

sin2ωx-

3

2

（1-cos2ωx）+a=sin（2ωx+

π

3

）+a-

3

2

∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

∴当x=

π

6

时，2ωx+

π

3

=

π

2

+2kπ，（k∈Z），即

π

3

ω+

π

3

=

π

2

+2kπ，（k∈Z），可得

π

3

ω=

π

6

+2kπ，（k∈Z）
结合ω＞0，得整数k=0时，ω=

1

2

（2）由（1），得f（x）=sin（x+

π

3

）+a-

3

2

∵x∈[-

π

3

， 

5π

6

]，得x+

π

3

∈[0，

7π

6

]
∴当x=

5π

6

时，x+

π

3

=

7π

6

，此时f（x）有最小值-

1

2

+a-

3

2

=

3

由此可得：a=

3 3 +1

2

．

点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．