Question

如图，A(m，

3

m)和B(n，-

3

n)两点分别在射线OS、OT上移动，且

OA

•

OB

=-

1

2

，O为坐标原点，动点P满足

OP

=

OA

+

OB

．
（Ⅰ）求m•n的值；
（Ⅱ）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两点，且

ME

=3

EN

，求l的方程．

Answer 1

分析：（I）由向量数量积

OA

•

OB

=-

1

2

的坐标运算即可求得m•n的值；
（II）欲求P点的轨迹C的方程，设点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意向量关系将x，y用m，n表示，最后消去m，n得到一个关系式，即得点P的轨迹方程．
（III）设直线l的方程为x=ty+2，将其代入C的方程得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量运算即可求得t值，从而求得l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知得

OA

•

OB

=(m，

3

m)•(n，-

3

n)(1分)
=-2mn=-

1

2

∴m•n=

1

4

（4分）
（Ⅱ）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由

OP

=

OA

+

OB

得(x，y)=(m，

3

m)+(n，-

3

n)=(m+n，

3

(m-n))（5分）
∴

x=m+n y= 3 (m-n)

消去m，n可得x2-

y2

3

=4mn，又因mn=

1

4

（8分）
∴P点的轨迹方程为x2-

y2

3

=1(x＞0)
它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x2-

y2

3

=1的右支（9分）
（Ⅲ）设直线l的方程为x=ty+2，将其代入C的方程得3（ty+2）²-y²=3
即（3t²-1）y²+12ty+9=0
易知（3t²-1）≠0（否则，直线l的斜率为±

3

，它与渐近线平行，不符合题意）
又△=144t²-36（3t²-1）=36（t²+1）＞0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

-12t

3t2-1

，y1y2=

9

3t2-1

∵l与C的两个交点M，N在y轴的右侧
x₁x₂=（ty₁+2）（ty₂+2）
=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4
=t2•

9

3t2-1

+2t•

-12t

3t2-1

+4
=-

3t2+4

3t2-1

＞0
∴3t²-1＜0，即0＜t2＜

1

3

又由x₁+x₂＞0同理可得0＜t2＜

1

3

（11分）
由

ME

=3

EN

得（2-x₁，-y₁）=3（2-x₂，y₂）
∴

2-x1=3(2-x2) -y1=3y2

由y1+y2=-3y2+y2=-2y2=-

12t

3t2-1

得y2=

6t

3t2-1

由y1y2=(-3y2)y2=-3

y

2 2

=

9

3t2-1

得

y

2 2

=-

3

3t2-1

消去y₂得

36t2

(3t2-1)2

=-

3

3t2-1

解之得：t2=

1

15

，满足0＜t2＜

1

3

（13分）
故所求直线l存在，其方程为：

15

x-y-2

5

=0或

15

x+y-2

5

=0（14分）

点评：本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求直线方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．