Question

已知对于任意的自然数m，n，都有f（n）f（m）=f（n+m）+f（n-m），其中f（0）≠0，f（1）=1，试猜想f（n）=

 

．（n∈N）

Answer 1

分析：先设m=n=0得：f²（0）=2f（0），求得f（0）=2，再设m=n，得f（2n）=f（n）f（n）-2，结合题中条件依次求出f（2），f（3），f（4），f（5），f（6），…f（n）的值呈周期性变化，周期为：6，联想到三角函数进行猜想即可．

解答：解：设m=n=0得：
f²（0）=2f（0），其中f（0）≠0，
∴f（0）=2，
设m=n，得：f（n）f（n）=f（2n）+2，
∴f（2n）=f（n）f（n）-2
∴f（2）=f²（1）-2=-1
f（3）=-2
f（4）=f²（2）-2=-1
f（5）=1
f（6）=f²（3）-2=2，
…
f（n）的值呈周期性变化，周期为：6，
联想到三角函数，故猜想f（n）=2cos

nπ

3

．
故答案为：2cos

nπ

3

．

点评：本小题主要考查抽象函数周期性的应用、归纳推理等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．