Question

14．函数f（x）=4x³-3x在（a，a+2）上存在最大值，则实数a的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求函数f（x）=4x³-3x的导数，研究其最大值取到的位置，由于函数在区间（a，a+2）上有最大值，故最大值点的横坐标是集合（a，a+2）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围

解答 解：由题 f′（x）=12x²-3，
令f′（x）＜0解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$；令f′（x）＞0解得x＜-$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{1}{2}$．
由此得函数在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上是增函数，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数．
故函数在x=-$\frac{1}{2}$处取极大值，判断知此极大值必是区间（a，a+2）上的最大值
∴故有a＜-$\frac{1}{2}$…①，a+2$＞-\frac{1}{2}$…②，解②得：a$＞-\frac{5}{2}$，并且f（-$\frac{1}{2}$）＞f（a+2），可得1＞4（a+2）³-3（a+2），…③，解③可得：a＜3．
综上知a∈（-$\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$）
故答案为：（-$\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．