Question

（2012•茂名一模）已知向量

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx+sinx，-2sinx)，且f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的解析式和它的最小正周期；
（2）求函数f(x)在x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐标运算可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），从而可求得它的最小正周期；
（2）由0≤x≤

π

2

，可求得

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，利用正弦函数的单调性即可求得函数f(x)在x∈[0，

π

2

]的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=（cosx+sinx）²-2sin²x
=1+sin2x-（1-cos2x）
=sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

），
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

．
∴函数f(x)在x∈[0，

π

2

]的值域为[-1，

2

]．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期及复合三角函数的单调性，属于三角中的综合，属于中档题．