Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

2

，S_n是数列{a_n}的前n项和．当n≥2且n∈N^*时，Sn+1(Sn+1-2Sn)+(2Sn-Sn-1)Sn-1=1，令bn=

a

4 n

(

1

a 4 1

+

1

a 4 2

+

1

a 4 3

+…+

1

a 4 n-1

)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；试用n和b_n表示b_n+1；
（2）若b₁=1，n∈N^*，证明：(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)＞

29

9

-

2(n+1)

n(n+2)

．
（3）当n∈N^*时，证明

a 2 1 C 0 n

2

+

a 2 2 C 1 n

22

+

a 2 3 C 2 n

23

+…+

a 2 i+1 C 1 n

2i+1

+…+

a 2 n+1 C n n

2n+1

≤3n-1．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1，得a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*），所以a_n²=n，∴an=

n

(n∈N*)．
（2）当n≥2时，由

bn

n2

=1+

1

22

+

1

32

++

1

(n-1)2

，知

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

，bn+1=

(n+1)2(bn+1)

n2

(n≥2，n∈N*)，综上所述，对一切n∈N^*，不等式都成立．
（3）先把原式转化为

C 0 n

2

+

2 C 1 n

22

+… + 

n C n-1 n

2n

+

(n+1) C n n

2n+1

≤3^n-1，再用数学归纳法进行证明．

解答：（1）解：由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1
得（S_n+1-S_n）²-（S_n-S_n-1）²=1，即a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*）
∴数列{a_n²}是首项为1，公差为1的等差数列
于是a_n²=n，∴an=

n

(n∈N*)（4分）
（2）证明：当n≥2时，∵

bn

n2

=1+

1

22

+

1

32

++

1

(n-1)2

∴

bn+1

(n+1)2

=1+

1

22

+

1

32

++

1

(n-1)2

+

1

n2

．∴

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

∴bn+1=

(n+1)2(bn+1)

n2

(n≥2，n∈N*)（3分）
当n=1时，1+

1

b1

=2＞

29

9

-

2×2

1×3

=

17

9

，不等式成立；
当n≥2时，由（1）得

bn+1

bn+1

=

n2

(n+1)2

∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

bn

)=2•

bn+1

(n+1)2

=2(1+

1

22

+

1

32

++

1

n2

)
又当k≥2时，

1

k2

≥

1

3

(

1

k-1

-

1

k+2

)
∴

n

k=1

1

k2

≥1+

1

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

29

18

-

3n2+6n+2

3n(n+1)(n+2)

＞

29

18

-

3n2+6n+3

3n(n+1)(n+2)

=

29

18

-

n+1

n(n+2)

于是当n≥2时，(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

bn

)＞

29

9

-

2(n+1)

n(n+2)

综上所述，对一切n∈N^*，不等式都成立．（10分）
（3）证明：原式=

C 0 n

2

+

2 C 1 n

22

+… + 

n C n-1 n

2n

+

(n+1) C n n

2n+1

≤3^n-1．
用数学归纳法证明：
①当n=2时，

C 0 2

2

+

2 C 1 2

4

+

3 C 2 2

8

=

15

8

＜3，结论成立．
②假设n=k时，结论成立，即

C 0 k

2

+

2 C 1 k

22

+…+

k C k-1 k

2k

+

(k+1) C k k

2k+1

≤3^k-1．
当n=k+1时，

C 0 k

2

+

2 C 1 k

22

+…+

k C k-1 k

2k

+

(k+1) C k k

2k+1

+

(k+2) C k+1 k+1

2k+2

≤3^k-1+

(k+2) C k+1 k+1

2k+2

≤3^k．结论也成立．
由①②知，原式=

C 0 n

2

+

2 C 1 n

22

+… + 

n C n-1 n

2n

+

(n+1) C n n

2n+1

≤3^n-1．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意不等式知识的合理运用．