Question

17．设F₁，F₂分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的一个顶点，以F₁F₂为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B，C两点，若△ABC的面积为$\frac{1}{2}{c^2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用△ABC的面积为$\frac{1}{2}$c²，求出双曲线的渐近线的方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得c=$\sqrt{2}$a，
即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
即为bx-ay=0，
则A（a，0）到渐近线的距离为d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
由题意，△ABC的面积为$\frac{1}{2}$c²，
则$\frac{1}{2}$•2c•$\frac{ab}{c}$=$\frac{1}{2}$c²，
即为4a²b²=c⁴，
即有4a²（c²-a²）=c⁴，
即有c²=2a²，
即c=$\sqrt{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．