Question

已知f(x)=

x

+

1

x

+

x+ 1 x +1

及g(x)=

x

+

1

x

-

x+ 1 x +1

．
（1）分别求f（x）、g（x）的定义域，并求f（x）•g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并说明理由；
（3）若a=

x2+x+1

 ， b=t

x

 ， c=x+1，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正
数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用被开放数大于0可求函数的定义域，直接相乘化简即可；   
（2）先考虑

x

+

1

x

≥2，再说明函数y=

x

+

1

x

与y=

x+ 1 x +1

在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，从未求出函数的最小值．
（3）利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用（1）（2）的结论可确定．

解答：解：（1）f（x）、g（x）的定义域均为（0，+∞）；…（2分）
   f(x)•g(x)=( 

x

+

1

x

 )2-( x+

1

x

+1 )=1．…（4分）
（2）∵

x

+

1

x

≥2，∴( 

x

+

1

x

 )2≥4⇒x+

1

x

≥2．…（7分）
易知函数y=

x

+

1

x

与y=

x+ 1 x +1

在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，
∴f(x)min=f(1)=2+

3

．…（10分）
（3）∵a=

x2+x+1

＜x+1=c，…（11分）
∴若能构成三角形，只需

x2+x+1 +t x ＞x+1 x2+x+1 +(x+1)＞t x

⇒

t＞ x + 1 x - x+ 1 x +1 t＜ x + 1 x + x+ 1 x +1

恒成立．…（13分）
由（1）知，f(x)•g(x)=1⇒g(x)=

1

f(x)

，
∵f(x)≥2+

3

，∴g(x)=

1

f(x)

≤2-

3

，即t＞2-

3

．…（15分）
由（2）知，f(x)≥2+

3

，∴t＜2+

3

．…（17分）
综上，存在t∈( 2-

3

 ， 2+

3

 )，满足题设条件．…（18分）

点评：本题主要考查利用函数单调性求函数的最值，将是否存在性问题转化为恒成立问题时解题的关键．