Question

设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.

(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.

Answer 1

解析：(1)由f(2-x)=f(2+x)得函数y=f(x)的对称轴为x=2,∴f(-1)=f(5).而f(5)≠0f(1)≠f(-1)，即f(x)不是偶函数.

    又∵f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0,

∴f(0)≠0.

    从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x)是非奇非偶函数.

(2)

f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)，从而知函数y=f(x)的周期为T=10.

    又f(3)=f(1)=0,

∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,

    故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在［0，2 000］上有400个根，在［2 000，2 005］上有2个根，在［-2 000，0］上有400个根，在［-2 005，-2 000］上没有根.所以函数y=f(x)在［-2 005,2 005］上有802个根.