Question

如图，已知圆G：x²+y²-2x-y=0经过椭圆的右焦点F及上顶点B．过点M（m，0）作倾斜角为的直线l交椭圆于C、D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知即可得到点F，B的坐标，即可得到c，b，再利用a²=b²+c²即可；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，即可得到．代入即可得到m的取值范围．
解答：解：（1）∵圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B．
∴F（2，0），B（0，），∴c=2，b=，
∴a²=b²+c²=6．
∴椭圆的方程为．
（2）由题意l的方程为：．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
联立，消去y整理得2x²-2mx+m²-6=0．
由△＞0得到4m²-4×2（m²-6）＞0，解得．
∴x₁+x₂=m，．
又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，∴．
∴（x₁，y₁）•（x₂-1，y₂）＜0，
∴＜0．
∴．
∴2m²-3m-9＜0，
解得．
综上所述，m的取值范围是．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、点在圆的内部的等价条件、一元二次不等式的解法等是解题的关键．