Question

已知圆M：x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0与圆N：x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程.

Answer 1

点M的轨迹方程为（x+1）²=-2（y+2），此时圆M的方程为(x+1)²+(y+2)²=5

解析:

由圆M的方程知M（m，n）.又由方程组

得直线AB的方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m²-1=0.

又AB平分圆N的圆周，

所以圆N的圆心N（-1，-1）在直线AB上.

∴2（m+1）（-1）+2（n+1）（-1）-m²-1=0.

∴m²+2m+2n+5=0，即（m+1）²=-2（n+2）.                                                                        （*）

∴（x+1）²=-2（y+2）即为点M的轨迹方程.

又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，即MN最小.

d=

由（*）可知n≤-2,∴d≥1.

即最小值为1,此时m=-1，n=-2，故此时圆M的方程为(x+1)²+(y+2)²=5.